Max. Beweisstärke einer Aussage/Satz

Als Beispiel soll die Unendlichkeit der Primzahlen dienen, dafür gibt es ja mehrere Beweise, meine Frage ist:
"Gibt es nur endlich viele oder unendlich viele Beweise für das obige Beispiel (aber auch generell für anderes Beweisbares)?" Gibt es eine Formel wie viele Beweise für eine Aussage es geben kann, wenn nein, könnte es so eine geben?

Falls irgendwas unverständlich ist, einfach fragen.

Es läßt sich beweisen, daß es für jede beliebige Primzahl p mindestens eine Zahl q gibt, die ebenfalls prim ist und größer als p. Da es also unendlich viele Primzahlen gibt und man diesen Umstand ausgehend von jeder von ihnen beweisen kann, gibt es auch unendlich viele solcher Beweise - die sich in der Art der Beweisführung allerdings nicht unterscheiden. Insofern fehlt der Fragestellung eine genauere Aussage darüber, inwieweit sich ein Beweis vom andern unterscheiden muß, um als eigenständig zu gelten.

Problematisch ist die Ausweitung auf generell alles "Beweisbares", da das dann im Zweifelsfall nichts mehr mit mathematischen Beweisen zu tun hat. Extrembeispiel: Ist es bewiesen, daß morgens die Sonne auf- und abends wieder untergeht? Es gibt Milliarden Augenzeugen, aber nicht unendlich viele. Zählt jeder einzelne Zeuge als ein Beweis? Außerdem widersprechen sich deren Antworten, die Innuit z.B. behaupten etwas ganz anderes als die Berber und beide etwas anderes als die ISS-Besatzung, auch wenn sie alle die Wahrheit sagen.

Falls es eine allgemeine Formel gibt, mit der man die Menge aller Beweise für einen Sachverhalt bestimmen kann, müßte sie auch Aussagen über sich selbst liefern können. Ich fürchte, die Anzahl der Beweise, daß diese Formel korrekt ist, wäre gleich Null, was dann in einem schönen Paradoxon endet... ;)

@geeky
Verdammt noch mal, das Russellsche Paradoxon...das hast du jetzt aber nicht eben mal aus dem Ärmel geschüttelt? Also den Kontext zu den Beweisen.

@Radix

Das mit der unmöglichen Aussage über sich selbst ist mir erst beim Tippen des Beitrags in den Sinn gekommen; wußte gar nicht, das es dafür schon einen Namen gibt :D

@geeky

Aber der Beweis muss sich ja gar nicht selbst enthalten, da er ja gar nicht den Sachverhalt beweist, sondern die Formel soll ja nur die Beweise angeben, die den Sachverhalt beweisen.

Also nochmal die Frage: "Ist so eine Formel möglich"

Wenn man fragt, wie viele Beweise gibt es für diese "allgemeine Formel", die angibt, wie viele Beweise für einen Sachverhalt nötig sind, dann verwickelt man sich, aber doch sonst nicht.

@Radix

Eine Formel, die die Anzahl der Beweise für alles "generell Beweisbares" exakt ermittelt, gibt es mMn nicht. Das zeigt nicht nur das Paradoxon, welches sich in der Mathematik daraus ergibt, sondern auch mein Beispiel mit dem Sonnenauf- und untergang.

Radix schrieb:die Formel soll ja nur die Beweise angeben, die den Sachverhalt beweisen.

Nicht die Beweise, sondern deren Anzahl, und da geht das Problem schon los: Wenn du mit 200 geblitzt wirst und dir das Beweisfoto zweimal geschickt wird, hast du dann einen oder zwei Beweise für den Verstoß? Wieviel, wenn sie von unterschiedlichen Kameras stammen, oder unterschiedliche Geschwindigkeit anzeigen?

Um so etwas berechnen zu können, muß es abzählbar sein (akzeptierst du auch 1,73 Beweise?), und schon beim Zählen bekommst du bei Beweisen deutlich mehr Probleme als bei z.B. einer Kiste voller Äpfel.

Es ist schwierig die Eingangsfrage zu beantworten, ohne dass man sauber definiert, was ein Beweis ist.
Man wendet ja lediglich bekannte Zusammenhänge auf eine neue Fragestellung an, die dann zu einer bestimmten Erkenntnis führen. Und der Pfad, um von Aussage A zu Aussage B zu kommen kann immer beliebig gewählt werden, wodurch man immer (sei es durch unnötige Verkomplizierung) mehrere Beweise finden kann.

Aber ich denke nicht, dass das ganze wichtig ist, denn eine bewiesene Aussage ist 100% richtig und gilt immer. Eine andere bewiesene Aussage kann nicht richtigerer oder weniger richtig sein.
Dagegen lässt sich die "Wirkung" der bewiesenen Aussage überall nachweisen, wodurch eine wahre Aussage sich durch alles wahre beweisen lassen müsste (evtl durch Verknüpfung mit anderen wahren Aussagen)

Es läßt sich beweisen, daß es für jede beliebige Primzahl p mindestens eine Zahl q gibt, die ebenfalls prim ist und größer als p.

Ganz egal wie viele Zahlen man für diesen "einen Beweis nutzen kann, es bleibt "ein" Beweis.
Der von Euler mit der Reihendarstellung ist ein zweiter Beweis.

Also das Muster des Beweises, ist für mich der Beweis. Ganz egal mit wie vielen Zahlen man dies Muster ausführen kann.

Die Wichtigkeit solch einer Formel kann man daran ersehen, dass solch eine Formel auch angeben könnte, ob es null Beweise für einen Satz, oder was auch immer, gibt.

@Radix

Wie willst du nachweisen, daß diese Formel, so sich denn jemand mal eine ausdenkt, Gültigkeit besitzt oder einfach nur Fantasieergebnisse bringt?

Herr Richter, sie haben nur 3 Beweismittel gegen mich vorgelegt, diese Formel hier aus dem Internet sagt aber, daß es 7 sein müssen. Beantrage Freispruch! ;)

@geeky

geeky schrieb:Wie willst du nachweisen, daß diese Formel, so sich denn jemand mal eine ausdenkt, Gültigkeit besitzt oder einfach nur Fantasieergebnisse bringt?

Ein Mathematiker der sie entdeckt (so es sie denn gibt), wird schon schlagende Argumente haben.
Er muss sie dann beweisen, er muss beweisen, dass diese Formel unter den und den Optionen richtig arbeitet.

geeky schrieb:Herr Richter, sie haben nur 3 Beweismittel gegen mich vorgelegt, diese Formel hier aus dem Internet sagt aber, daß es 7 sein müssen. Beantrage Freispruch!

Aber warum denn, ein Beweis ist doch so kräftig wie sechs Beweise. Wenn man für igendetwas sechs Beweise hat, so ist einer von ihnen vieleicht schöner, aber nicht besser.

@Radix

Radix schrieb:Er muss sie dann beweisen, er muss beweisen, dass diese Formel unter den und den Optionen richtig arbeitet.

Wie soll er das tun? Mir fällt keine Möglichkeit einer Überprüfung ein, ob das ausgespuckte Ergebnis auch wirklich korrekt ist. Nur eben die, sich selbst zu prüfen, womit wir wieder beim Paradoxon angekommen wären.

"Herr Richter, sie haben diese 3 Beweismittel gegen mich vorgelegt, diese modifizierte Formel hier aus dem Internet sagt aber, daß es keinen einzigen gibt. Beantrage Freispruch!"

ja, in einer zeitlich unendlichen Welt, mit unendlichem Bewusstsein

@geeky

geeky schrieb:Wie soll er das tun?

Du bist mir ja ein Spaßvogel, diese Frage stellt sich doch bei jedem Beweis.

Aber vielleicht ist es einem Gödel möglich.

Ich sehe nicht, warum es im R.Paradoxon enden sollte.

Dies wäre wie gesagt nur dann der Fall, wenn man fragen würde, wie viele Formeln es gibt, die sagen können, wie viele Beweise es für diese imaginäre Formel geben müsste.

Aber das ist doch gar nicht gefragt, sondern ob so eine Formel überhaupt möglich ist und diese Bejahung, fordert natürlich einen Beweis. Diese Formel aber könnte Logischerweise nicht auf diese bewiesene Fomel angewendet werden. Das schliesst doch aber nicht aus, dass es so eine Formel geben könnte, oder doch?

@Radix

"Herr Richter, sie haben diese 3 Beweismittel gegen mich vorgelegt, diese modifizierte Formel hier aus dem Internet sagt aber, daß es keinen einzigen gibt. Beantrage Freispruch!"

Hat hier nun der Richter recht oder die Formel? Wie willst du belegen, daß es tatsächlich keinen Beweis gbt? Ganz abgesehen von dem gigantischen Haufen zu ermittelnder Variablen, mit der die Formel gefüttert werden muß - dann kann sie die Beweise auch gleich selber führen statt nur deren Anzahl zu bestimmen.

@geeky

geeky schrieb:Hat hier nun der Richter recht oder die Formel?

Das kommt ganz drauf an, auf welcher Bank ich mich befinde *g*.

Wie willst du belegen, daß es tatsächlich keinen Beweis gibt?

Ich weiss es nicht. Ich weiss ja noch nicht einmal ob so eine Formel überhaupt möglich ist, ja es wäre, wollte man so eine Formel finden, als erstes daran zu gehen, was man denn für Informationen benötigt. Diese müssten wohl Zahlen sein. Das Problem ist in dem und dem Gebiet der Mathematik angesiedelt, es hat die und die Form und dann übermittelt man all die Daten in die Sprache der Logik und zaubert sich einen Spruch, den man wieder zurück übermittelt.
So ungf. ich weiss es aber absolut nicht.

Da ein mathematischer Beweis auch auf dem umstellen von Formeln beruht und eine solche Formel nach umstellen immernoch gültig ist,

Beispiel

1=x -->
2=2x -->
3=3x -->
n=nx -->

n-->unendlich

und da du diese Umstellungen für jede Formel beliebig oft vor und zurück durchführen kannst,

gibt es für jeden mathematischen Beweis unendlich andere Beweise die das selbe aussagen.

@interpreter

Das hatte radix schon ausgeschlossen:

Radix schrieb:Also das Muster des Beweises, ist für mich der Beweis. Ganz egal mit wie vielen Zahlen man dies Muster ausführen kann.

@Radix

Radix schrieb:Ich weiss es nicht. Ich weiss ja noch nicht einmal ob so eine Formel überhaupt möglich ist, ja es wäre, wollte man so eine Formel finden, als erstes daran zu gehen, was man denn für Informationen benötigt. Diese müssten wohl Zahlen sein.

Ja, für andere als mathematische Beweise wird es eine solche Formel mit Sicherheit nicht geben, sonst werden meine "Beantrage Freispruch"-Beispiele noch real :)

Radix schrieb:Das Problem ist in dem und dem Gebiet der Mathematik angesiedelt, es hat die und die Form und dann übermittelt man all die Daten in die Sprache der Logik und zaubert sich einen Spruch, den man wieder zurück übermittelt.
So ungf. ich weiss es aber absolut nicht.

http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/3material/sek1/geometrie/pyth/beweise (Archiv-Version vom 15.02.2011)
Hier kann man sich gut 100 der mehr als 400 verschiedene Beweise für den Satz des Pythagoras anschauen und ungefähr erahnen, was ein Programm leisten müßte, welches nicht nur diese, sondern auch alle anderen möglichen herausfinden soll.

@geeky

Unabhängig davon lässt sich das aber nicht abschätzen. Schließlich ist der Beweis kein mathematisches Subjekt sonder ein Metasubjekt. Also eine Aussage über mathematische Aussagen. Diese würde dann wiederum zu der Notwendigkeit einer Aussage über mathematische Aussagen zu mathematischen Aussagen führen etc.

Das würde unendlich so weiterführen wenn man nicht eine Aussage gestalten kann die sich in irgendeiner Form direkt oder über Umwege auf sich selbst bezieht. Das geht mit der strikten Mathematik nicht.

Das ganze Thema wird von Douglas Hofstadter sehr gut in seinem Buch Gödel Escher Bach behandelt. Auf diese Weise zeigt er, das Künstliche Intelligenz mit mathematisch strikten Mitteln unmöglich ist.