Gibt es ein Stellenwertsystem in dem 1 + 1 = 3 gilt?

In letzter Zeit habe ich des Öfteren gelesen, dass man nicht pauschal 1 + 1 = 3 als falsch ansehen könne, da es schließlich noch andere Stellenwertsysteme gäbe. Dabei wurde dann z.B. auf das Oktalsystem verwiesen.

Nur gibt es wirklich Stellenwertsysteme, in denen 1 + 1 = 3 eine wahre Aussage ist? Aufgrund grundsätzlicher Überlegungen habe ich den Eindruck, dass es ein solches Stellenwertsystem nicht gibt:

Um zu verstehen, wieso es 1 + 1 = 3 in jedem Stellenwertsystem falsch ist, müssen wir uns mal kurz anschauen, wie diese aufgebaut sind.

Für ein Stellenwertsystem mit der Basis b gilt:
z₀ x b⁰ + z₁ x b¹ + z₂ x b² + ... + z_n x bⁿ

In dem von Dir angeführten Oktalsystem, also dem Stellenwertsystem zur Basis 8, ist das dann:
z₀ x 8⁰ + z₁ x 8¹ + z₂ x 8² + ... + z_n x 8ⁿ

Die Zahl Sechsunddreißig ist dann also in dem System 4 x 8⁰ + 4 x 8¹, oder einfacher (44)₈.

Bei der Rechnung 1 + 1 = 3, müssten wir also ein Zahlensystem haben, welches die Zahl Zwei mit der Ziffer 3 darstellt. Da aber die Zwei vor der Drei kommt, können wir danach lange suchen.

Habe ich einen Fehler in der Überlegung?

Mal blöd, was ist ein Stellenwertsystem?

@Pan_narrans

Wenn Du die Zahl 2 mit der Ziffer 3 belegst, erhältst Du als Summe aus 1 und 1 tatsächlich 3 - vorausgesetzt, Du belegst die Zahl 1 auch mit der Ziffer 1. Die Ziffer 2 wäre dann neu zu vergeben.

@Balthasar70
schau mal hier

@Monasteriker
Du kannst den Ziffern ja nicht beliebige Werte zuordnen. Eine einzelne eins ist immer eine eins weil b⁰*1=1.

Was ist wenn man 2/3 als Basis nehmen würde ? Weiß nicht ob das geht, aber...

Izaya schrieb:Du kannst den Ziffern ja nicht beliebige Werte zuordnen.

Wenn man sich darüber einig werden kann - warum nicht?

Izaya schrieb:Eine einzelne eins ist immer eine eins

Ja, als Zahl, wenn man sie als Menge auffasst, die immer nur ein einziges Element aufweist. Wie Du diese Menge dann mit einer Ziffer (mit einem Zeichen) belegst, ist dann Deiner Willkür überlassen, falls Du Dich nicht an Konventionen halten magst.

@Pan_narrans: Ich denke, das hängt davon ab, wie eng man den Begriff Stellenwertsystem fasst. Es sind weitaus komplexere Zahlensysteme als auf der von Dir beschriebenen Polynombasis denkbar. In wie weit diese sinnvoll sind, ist natürlich eine andere Frage. Ich habe z.B. mal zur Lösung eines Spezialproblems tatsächlich über eine multiplikative Zahlenrepräsentation nachgedacht. Das Ganze ist allerdings so lange her, dass ich mich nicht mehr an die Einzelheiten nicht erinnern kann (es blieb auch bei anfänglichen Überlegungen). Multiplikationen sind bei einer solchen Darstellung erheblich einfacher als Additionen durchzuführen. Ich würde nicht ausschliessen, dass man tatsächlich irgendwie ein Zahlensystem zusammenzimmern kann, wo sich halbwegs sinnvoll 1 + 1 = 3 ergibt.

@Monasteriker
schau dir mal an was Pan geschrieben hat.

Für ein Stellenwertsystem mit der Basis b gilt:
z0 x b0 + z1 x b1 + z2 x b2 + ... + zn x bn

(Es übernimmt bein Zitat nicht die Formatierung bzw. beim kopieren schau es dir bei Pan an)

@Monasteriker

Monasteriker schrieb:Wenn Du die Zahl 2 mit der Ziffer 3 belegst, erhältst Du als Summe aus 1 und 1 tatsächlich 3 - vorausgesetzt, Du belegst die Zahl 1 auch mit der Ziffer 1. Die Ziffer 2 wäre dann neu zu vergeben.

Dann hättest Du aber einfach nur der Zahl Zwei eine andere Ziffer zugewiesen und nicht ein Stellenwertsystem gewählt, in dem 1 + 1 = 3 gilt.

@Pan_narrans
Was ist den jetzt bei der Basis 2/3 ? Oder kann man nur Natürliche Zahlen als Basis nehmen ?

Alternativ gibt es dann noch das "Mäuserechnen". Damit verklickert man den Kindern das dezimale Stellensystem:

2 + 5 = 25 als Beispiel.

Für 1 + 1 ergibt sich dann 11, also "elf" im Dezimalsystem. Im Dualsystem entspricht die 11 einer dezimalen 3. Und damit hätten wir dann in der Tat 1 + 1 = 3! ;)

@Monasteriker
Wenn es zwei verschiedene Systeme sind muss man das auch kennzeichnen: (1)₂ + (1)₂ = (3)₁₀

und ich glaube das war nicht was er wollte. Trotzdem tolle Lösung :D

Denkfehler :D

Pan_narrans schrieb:gibt es wirklich Stellenwertsysteme, in denen 1 + 1 = 3 eine wahre Aussage ist?

Wenn eine 1 hinreichend groß ist, erhält man eine kleine 3 als Ergebnis ;)

Wikipedia: Signifikante Stellen#Ergebnis einer Rechnung

@pluss
Naja, dass ist dann aber kein Stellenwertsystem, sondern einfach Ungenauigkeiten durch Rundung ;)

@Izaya
Bei nicht ganzzahligen Basen bin ich mir unsicher. Aber ich denke, dass bei der Basis 2/3 weder die Ziffern 2 und 3, noch höhere Ziffern vergeben werden.

@uatu
An multiplikative Stellenwertsysteme habe ich nicht gedacht. Werde mir die mal ansehen müssen.

Ich komm nie mit dem bei null mit Zähen beginne klar. 2/3 als Basis bringt auch nichts.

@pluss

1 ist "leider" immer eins. Da wir b⁰ x z₀ haben. Also in dem Fall b⁰ x 1 und da b⁰ immer eins ist, ist auch 1 in jedem Stellenwertsystem eins. Sowie 3 = 3 usw..


@Pan_narrans
Ich erkenne keinen Fehler.

@Pan_narrans
Auch die drei hat nur eine Stelle also haben wir b⁰ * 3. Also haben wir auch ins Dezimalsystem "Übersetzt" immer 1+1=3 und das ist falsch.

@Izaya

Auch die drei hat nur eine Stelle also haben wir b0 * 3. Also haben wir auch ins Dezimalsystem "Übersetzt" immer 1+1=3 und das ist falsch.

Ja, das ist, was ich mit dem Zitat im OP sagen wollte. War vielleicht etwas langatmig ausgeholt :D

@Pan_narrans
Kein Problem. Konnte man wahrscheinlich herauslesen nur Denke ich schneller als ich Lese. XD

Na gut, jetzt mal ernsthaft ...

Gemeint ist ja, dass die Summe aus der Menge 1 mit sich selbst die Menge ergeben könne, die man in einem bestimmten Zahlensystem mit der Ziffer 3 belegen kann. Die Frage ist also, ob man die Menge 2 (die sich als Summe aus 1 und 1 zwingend ergibt, da - wie schon geschrieben wurde, 1 immer 1 ist, da b⁰ = 1 ist) in einem bestimmten Zahlensystem mit der Ziffer 3 belegen kann.

Und bei dieser Prämisse sehe ich keinen Weg, wie man aus einer Menge 2 eine Ziffer 3 machen kann.