Mathe-/Abstandsproblem

Mir hat sich ein kleines Matheproblem gestellt, bei dem mir einfach keine Lösung einfällt, wo ich aber dennoch eine brauche um weiter zu kommen:
Gegeben ist ein Punkt P im kartesischen Koordinatensystem und eine Gerade S auf der ein weiterer, unbekannter Punkt Q liegt. Gesucht sind die Koordinaten des Punktes Q, aber so, dass er den minimalen Abstand zum Gegebenen Punkt P hat:

Hier die Werte:
Der Gegebende Punkt A(8;1;1)
Und die Gleichung: S:

Damit ist ja zumindest schonmal klar, dass der gesuchte Punkt Q, die Koordinaten (X;Y;0) hat. Aber wie komme ich auf die Werte von X und Y? Vermuten würde ich ja eine Extremwertaufgabe, aber ich finde nicht wirklich einen Ansatz (der würde mir schon reichen)

Ich habe zwar selbst keine Ahnung mehr von Vektorgeometrie, aber kannst Du nicht einfach eine Gerade durch den gesuchten Punkt legen und die zwei sich senkrecht schneiden lassen?

wtf..ich versag schon bei wurzeln ziehen :D

Also mal zum Ansatz:
Da der Punkt Q auf s gerade den kürzesten Abstand von s zu P hat, Arbeite mal mit der Formel für den kürzesten Abstand von Punkt zu Gerade.
Bzw. überleg dir wie man das anstellen könnte.
Danach brauchst nur noch einzusetzen und nach t aufzulösen.

Ich bin jetzt zwar auch nicht gerade in Stimmung, mir groß Gedanken darüber zu machen. Aber wenn du den Abstand berechnest, ist das immer die kleinste Entfernung. Also kannst du das mit dem "minimalen Abstand" vernachlässigen. Also keine Extremwertaufgabe.

Ich glaube, es ist gefragt: Abstand Punkt- Gerade.
Dazu würde ich ne Hilfsebene durch den Aufpunkt von A mit dem Richtungsvektor von S machen.

Dann setzt du die rechte Seite von S in die Ebenengleichung (Punktnormalengleichung) für x ein. Dann müsstest du ein t rausbekommen.
Dann den t-Wert in S einsetzen und dann müsstest du die Koordinaten von Q haben.
@Bettman

So habe nochmals kurz drüber nachgedacht.

Für dich ist der schnellste und einfachste Weg wohl so:
Der Vektor QP muss senkrecht auf der Geraden s stehen (Skalaprodukt).
Der Punkt Q ist abhängig von t gegeben. Somit hast du den Vektor QP in Abhängigkeit von t. Stellst die Gleichung auf, mit der du überprüfst, dass QP und die Gerade s senkrecht aufeinander liegen. Dann löst nach t auf und setzt t in der Geradengleichung ein.

@Bettman

ich geb dir mal den Ansatz unten steht die Lösung dann:

Also du musst eine Hilfsebene bilden, die aus dem Richtungsvektor deiner Geraden als Normalenvektor und deinen Punkt A zusammengesetzt ist....

also F= [ X - A ] * r

Die Gleichung musst du in Normalenform lösen (skalare Form).

Danach bildest du den Schnittpunkt zwischen der Geraden X und der Eben F (also die Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen). Hast du das gemacht solltest du einen Wert für t bekommen, einen skalaren Wert.

Damit kannst du dan deine Geradengleichung lösen und erhälst den entsprechenden
Schnittpunkt 0X.

Nimmst deinen Punkt A und ziehst davon den Schnittpunkt ab und schon hast du das Ergebnis.



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OK achtung da drunter steht die Lösung

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Also mal schön langsam:

1. Zuerst nimmst du den Richtungsvektor der Gerade, der ist r = (-2;1;0)

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2. Musst du eine Hilfsebene (F) bilden, wobei der Richtungsvektor deinem Normalenvektor der Ebene entspricht:

F = [ X - A ] * r = 0

Jetzt diese Eben in Normalenform umrechnen, also einfach die Gleichung lösen:

F = -2x + y + 0 - (-16 +1 + 0) = 0 => - 2x + y = -15

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3. Schnittpunkt zwischen der Geraden und der Hilfsebene berechnen:

X = (20;0;0) + t * (-2;1;0) deine Gerade in obige Gleichung:

F = -2*(20 + t* -2) + (0 + t*1) = -15 ausrechnen:

-40 + 5t = -15 => 25 = 5t => t=5
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4. Einsetzen um 0S rauszubekommen:

X = (20;0;0) + 5 * (-2;1;0) => 0S = (-10; 5; 0)

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5. Punkt Q ermitteln: (18; -4 ; 1)

Danke für die Lösungsvorschläge. Weiß auch nicht warum, bin aber einfach nicht drauf gekommen. Das Problem dürfte damit geklärt sein.