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Poincaré-Vermutung

15 Beiträge ▪ Schlüsselwörter: Formen, Topologie ▪ Abonnieren: Feed E-Mail
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elijah26 Diskussionsleiter
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Poincaré-Vermutung

04.08.2012 um 17:28
Topologie ist eine faszinierende mathematische Geometrie. Es betrachtet Körper von einem anderen Standpunkt als die klassische Geometrie. Topologisch gesehen ist ein Ring und eine Tasse dasselbe. Ist denn das ganze Universum doch nicht so Komplex und besteht es aus geometrischen Grundformen? Welche Topologien haben die Dimensionen? Sind astronomische Körper eine Topologische Erscheinungsform?

Mug and Torus morph


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Poincaré-Vermutung

04.08.2012 um 20:07
Interessant, aber könntest du mal näher darauf eingehen, worauf du hinauswillst?


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Poincaré-Vermutung

04.08.2012 um 20:11
Homers Theorie eines Donautförmigen Universums scheint sich zu bestätigen ;)


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AnGSt ehemaliges Mitglied

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Poincaré-Vermutung

04.08.2012 um 21:31
Ja, ist interessant, aber ich komme nicht ganz mit. Wie sind eine Tasse und ein Donutring topologisch gesehen das selbe? Was ist Topologie hier oder überhaupt?


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Poincaré-Vermutung

04.08.2012 um 21:38
@elijah26 kleine Hintergrundinformationen zum Thema;


Grigori Jakowlewitsch Perelman ist ein russischer Mathematiker und Experte auf den mathematischen Teilgebieten der Topologie und Differentialgeometrie, insbesondere auf dem Gebiet des Ricci-Flusses.
2002 veröffentlichte er seinen Beweis der Poincaré-Vermutung, eines der großen bis dahin ungelösten Probleme der Mathematik.
Zitat von elijah26elijah26 schrieb:Welche Topologien haben die Dimensionen?
Topologische Dimension

Es gibt viele verschiedene Wege, die Dimension eines Raumes zu definieren.
Wenn der Raum eine glatte Mannigfaltigkeit (das mehrdimensionale Analogon einer Fläche) ist,
dann ist die Dimension die Anzahl von Variablen in einem glatten Koordinatensystem.
Die Forderung nach Glattheit schließt die Peano-Kurve (definiert als der Grenzwert einer Folge von Kurven, die schrittweise konstruiert werden können) zwar aus, schränkt aber den Bereich des Raumes ein, auf den die Definition angewendet wird.
Zum Beispiel ist die Oberfläche einer Kugel zweidimensional, weil die zwei Variablen Länge und Breite das Koordinatensystem bestimmen.
Offensichtlich muß die Dimension in diesem Sinne eine positive ganze Zahl sein.
(Ingenieure erkennen dies übrigens sofort als Zahl der Freiheitsgrade)

Der Mathematiker POINCAR`E verallgemeinerte diese Definition auf beliebige topologische Räume durch die Festlegungen, dass -

+ die leere Menge die Dimension -1 hat,
+ falls die Berandungen kleiner Umgebungen aller Punkte im Raum die Dimension (n-1) besitzen,
dann der Raum n-dimensional ist. (diesen Satz mehrmals lesen ;)

Das ist eine sogenannte induktive Definition: es wird der nulldimensionale Raum in Termen des (-1)-dimensionalen Raumes vorgenommen, dann der 1-dimensionale Raum durch den 0-dimensionalen usw.
Wir wollen dieses Resultat die topologische Dimension nennen. Entsprechend seiner Natur ist es eine topologische Invariante (Eine topologische Invariante bzw. topologische Eigenschaft ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie eine gemeinsame Eigenschaft topologischer Räume, die zueinander homöomorph sind), sie muss wiederum eine ganze Zahl sein.

In der Theorie der Fraktale ist etwas mehr zu fordern als in der Topologie. Die Kochsche Schneeflocke ist topologisch einem Kreis äquivalent. Das drückt aus, daß die metrische Struktur - hier ist der Begriff des Abstands wichtig - berücksichtigt werden muß. Man muß eine Definition der Dimension suchen, die diejenige für Mannigfaltigkeiten übersteigt und erweitert, die metrische, nicht nur topologische Eigenschaften reflektiert.

Wikipedia: Topologische Invariante
http://www.math.tu-cottbus.de/~froehner/sonstiges/skripte/node9.html
Wikipedia: Peano-Kurve
Wikipedia: Grigori Jakowlewitsch Perelman


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Poincaré-Vermutung

05.08.2012 um 01:54
@therealproton

Ich denke das kapieren so nur wenige :D
Zitat von AnGStAnGSt schrieb:Ja, ist interessant, aber ich komme nicht ganz mit. Wie sind eine Tasse und ein Donutring topologisch gesehen das selbe? Was ist Topologie hier oder überhaupt?
@AnGSt

Topologie ist Mathe und behandelt die Einteilung von geometrischen Objekten nach ihren Verknüpfungen in sich selbst und zu anderen geometrischen Objekten. Eine Kugel und ein Quader gehören z.b. derselben topologischen Klasse an weil man sie durch verbiegen ineinander überführen kann, es geht also nicht um die Form. Wird eine Kugel zu einem Torus verbogen ist das etwas topologisch "Neues", weil ein Loch drin ist, entspricht also einer anderen topologischen Klasse.

Was das Universum betrifft wird sich über die Topologie gerne ausgelassen, weil die Frage nach der Topologie durch die Relativitätstheorie im Gegensatz zur Geometrie des Universums offen gelassen wird. Die Topologie des Universums ist nicht durch Einsteins Feldgleichungen festgelegt. Es gibt einen sogenannten k Wert des Universums, wird der variiert hat jeder Wert eine unendliche Anzahl von möglichen Topologien.

Die Poincare Vermutung besagt, das ein Objekt das kein Loch hat zu einer Kugel deformiert werden kann, hier speziell der Fall der 3 D Oberfläche im 4 dimensionalen Raum, schöner ausgedrückt die 3 dimensionale Sphäre im 4 dimensionalen Raum.

@elijah26
Zitat von elijah26elijah26 schrieb:Welche Topologien haben die Dimensionen?
Für das Universum bezieht es sich auf geschlossen oder unendlich, Beispiele für mögliche verschiedene Topologien sind z.B. Hyperboloid, Dodekaeder, Horn...
Zitat von elijah26elijah26 schrieb:Sind astronomische Körper eine Topologische Erscheinungsform?
Ja sind sie, wenn man das so nennen möchte.


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Poincaré-Vermutung

05.08.2012 um 02:03
@vycanismajoris
(; erwischt


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AnGSt ehemaliges Mitglied

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Poincaré-Vermutung

05.08.2012 um 08:50
@vycanismajoris

Ahja, so verstehe ich das. Bis darauf was es uns bringt das Universum topologisch zu betrachten.


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Poincaré-Vermutung

05.08.2012 um 09:14
Je tiefer man in die Materie geht, desto mehr erkennt man, dass da nichts ist :D


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Poincaré-Vermutung

05.08.2012 um 10:07
@elijah26
Wenn Du einen Gegenstand durch ein starkes Mikroskop betrachtest, dann siehst Du, wie sich die einzelnen Moleküle bewegen. Es ist zusammengeballte Energie, die in ständiger Bewegung/Dynamik ist.

Gestern schrieb ich an Yoshi über die Möbiusschleife; wenn man ein 2dimensionales Männchen diese Schleife entlanglaufen lässt, dann wechselt es die Seiten: rechts ist dann links und umgekehrt.
Das ist faszinierend.

Grüße!


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Poincaré-Vermutung

06.08.2012 um 19:51
Würde man die Topologie unseres Universums genau kennen, wäre es möglich den höherdimensionalen Raum, in dem unser Universum vielleicht eingebettet ist, theoretisch zu erfassen und vielleicht sogar irgendwann einmal praktisch zu nutzen.

Gruß greenkeeper


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Poincaré-Vermutung

07.08.2012 um 00:16
Zitat von AnGStAnGSt schrieb:@vycanismajoris

Ahja, so verstehe ich das. Bis darauf was es uns bringt das Universum topologisch zu betrachten.
Über die Topologie lassen sich Fragen beantworten die das Volumen des Universums betreffen, ist es endlich oder unendlich. Oder die Frage ob das Universum räumlich offen oder geschlossen ist.

@AnGSt


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Poincaré-Vermutung

07.08.2012 um 00:23
@vycanismajoris
oder in bestimmter weise auch, ob der raum in irgendeiner Form gebogen ist, wobei ja die aktuellsten Messungen dafür sprechen, dass er weitestgehend glatt ist.


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Poincaré-Vermutung

07.08.2012 um 00:57
@Cesair

Ja wenn der totale Dichteparameter des Universums 1.0 ist, bei jedem anderen Wert kann man anfangen andere Topologien zu konstruieren. Der Mikrowellen Satellit Planck war konzipiert um diesen Wert konkretisieren zu können, von welchem Wert da aktuell ausgegangen wird weiß ich nicht. Da beschäftigen sich auch nicht viele mit, dürfte schwierig werden da mehr herauszufinden.


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Poincaré-Vermutung

07.08.2012 um 01:01
das kennt doch jeder aus dem film terminator 2


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