Eine Frage zu Pi

@Nerok

Nerok schrieb:Indem ich statt Pi einfach C/d benutze.

Dann ist es bis auf die letzte Stelle genau.

Dann begehst Du einen Zirkelschluss. Wenn der Kreisdurchmesser (Kreisumfang) eine rationale Zahl ist, kannst Du den Kreisumfang (Kreisdurchmesser) nur dann genau bestimmen, wenn Du Pi genau bestimmt hast.

Edit: Alternativ könntest Du den Kreisumfang (Kreisdurchmesser) natürlich durch eine genaue Messung herausbekommen, dann ergäbe sich allerdings ein messtechnisches Problem.

Zunächst einmal ist Pi eine irrationale Zahl, d. h. sie lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Nichtsdestotrotz lässt sich Pi genau definieren, bspw. als die größere der beiden Nullstellen des Sinus im Intervall [0, pi].

Computer können natürlich nur mit einer (beliebig genauen) Approximation von Pi rechnen. Das ist in der Regel aber auch ausreichend.

@Monom

Monom schrieb:Computer können natürlich nur mit einer (beliebig genauen) Approximation von Pi rechnen. Das ist in der Regel aber auch ausreichend.

Das ist der springende Punkt! Es ist nicht nötig Pi exakt zu kennen, es muss lediglich in einer für die Anwendung ausreichenden Genauigkeit bekannt sein. Dazu hat @Suppenhahn bereits einen guten Beitrag geschrieben.

yask schrieb:Sie ist unendlich lang und mit dieser Zahl wird gerechnet. Da man sie ja eigentlich ja dann garnicht ganz nutzen oder irgendwie in einem mathematischen system einbringen kann nur wenn man ihr ein ende gibt oder nicht??? Ist doch alles was man damit berechnet ungenau.

Weißt Du, was ne Planck-Länge ist? Ne Planck-Länge ist so eine kleine Distanz, daß ein Körper mit so einem Durchmesser zugleich so schwer ist, daß sein Schwarzschildradius eine halbe Plancklänge groß wäre. Mit anderen Worten, alles, was kleiner als eine Plancklänge ist, muß notwendig ein Schwarzes Loch sein. Will man also Teilchen im Universum räumlich bestimmen, ist die Plancklänge das kleinste Maß, das uns zur Verfügung steht.

Und jetzt recycle ich mal nen Beitrag von mir aus nem anderen Thread:

Hmmm. Also Eine Plancklänge paßt so um die 10^35 mal in einen Meter (nicht ganz), richtig? Und ein Meter paßt so knapp 10^16 mal in ein Lichtjahr. Und dann nehmen wir mal für den Durchmesser des Universum einfach so aus Jux und Dollerei mal 10^100 Lichtjahre anDas sichtbare Universum erscheint 2*13,7 Milliarden Lichtjahre Durchmesser zu haben, das wären dann weniger als 3*10^10 Lichtjahre. Da sind 10^100 doch echt viel.

Wie viele Plancklängen passen inn so einen Durchmesser? Hmmm, 10^(35+16+100), macht 10^151 Plancklängen Durchmesser in einem Universum, in dem das für uns sichtbare Universum so groß ist wie ein Sandkorn im Sonnensystem (geschätzt).

Das nun im Quadrat, und wir sind bei 10^302 Plancklängen.

Nun haben wir aber Pi schon auf zwölf Billiarden Stellen hinterm Komma ausgerechnet.

Kann Pi plötzlich enden? (Seite 11) (Beitrag von perttivalkonen)

Will sagen, selbst wenn wir für den größtmöglichen Kreis im ganzen Universum den Umfang aus dem Radius berechnen wollen und die Länge in Plancklängen angeben wollen, benötigen wir für Pi nur ein paar hundert Nachkommastellen. Alle Nachkommastellen darüber hinaus sind völlig überflüssig, sie erhöhen die Genauigkeit des Ergebnisses in Plancklängen nicht mehr, da wir den Umfang nur in vollen Plancklängen angeben müssen; Plancklängenbruchteile sind überflüssig.

OK, in der Regel rechnen wir mit nur ner Handvoll Nachkommastellen (ich nehm in der Regel fünf). Aber in der Regel brauchen wir es nicht so genau. Wenns genau sein soll (und wenns um innerirdische Längen geht), so richtig plancklängengenau, dann reichen ein paar Dutzend Nachkommastellen. Und ich könnt mir vorstellen, daß man in der Forschung durchaus mehr Nachkommastellen verwendet als unsereins, und zwar entsprechend viel, wie genau man das Ergebnis braucht. Sind ja bekannt, muß man nur nachschlagen.

Seh grad, Suppenhahn hat das auch schon so erklärt.
Beitrag von Suppenhahn (Seite 1)

perttivalkonen schrieb:Weißt Du, was ne Planck-Länge ist?

Damit @yask eine bessere Vorstellung der Größenordnungen bekommt, kann er sich hier von der Planck-Länge bis zum beobachtbaren Universum durchzoomen:

http://htwins.net/scale2/lang.html

@pluss
Ich weiß so in etwa was ne Plack-Länge ist. Aber je tiefer man in die mathematik geht und je öfter man sie benutzt desto größer wird die abweichung oder nicht?

Man weiß ja nicht wie weit es noch geht aber dann wäre die plack-länge nicht 100% genau oder nicht? Würde also der unschärferelation wieder gehorchen

@yask
Machstu deutsche Satzen draus, ja?
Ah, hastu macht.

yask schrieb:Ich weiß so in etwa was ne Plack-Länge ist. Aber je tiefer man in die mathematik geht und je öfter man sie benutzt desto größer wird die abweichung oder nicht?

Die Abweichung macht die Plancklänge vielleicht ein bisserl größer oder kleiner, aber nicht um Größenordnungen.

yask schrieb:Man weiß ja nicht wie weit es noch geht aber dann wäre die plack-länge nicht 100% genau oder nicht? Würde also der unschärferelation wieder gehorchen

Der Unschärferelation ist wohl damit Genüge getan, daß die kleinsten Teilchen ein Vielfaches einer Plancklänge groß sein dürften, die Beobachtbarkeit jedoch nochmals um Größenordnungen drüberliegt.

Wieso aber sollte die Plancklänge a) ungenau sein; b) der Unschärferelation unterliegen?

@perttivalkonen
Ab der Plack länge wäre es ja nicht mehr relevant.
Aber wenn ich ein ergebniss, das ich bis auf placklänge dann ausgerechnet habe mathematisch zb multipliziere, multipliziert man doch auch die abweichung mit. Somit wäre es wieder über placklängengenauigkeit.

Und das gehorcht ja der unschärfe relation. Denn wenn es genau wäre könnte man alles genau berechnen und das geht ja nicht.

Es muss somit solche zahlen geben.

yask schrieb:Ab der Plack länge wäre es ja nicht mehr relevant.
Aber wenn ich ein ergebniss, das ich bis auf placklänge dann ausgerechnet habe mathematisch zb multipliziere, multipliziert man doch auch die abweichung mit. Somit wäre es wieder über placklängengenauigkeit.

Du kannst mit dem Meter als Längeneinheit messen und rechnen, Dein Ergebnis wird sauber sein. Und metergenau. Daß unser Meter nichts mit der Plancklänge zu tun hat, ist völlig egal dabei.

Und so könntest Du auch mit einer Längeneinheit arbeiten, die nahe an der "echten Planck-Länge" dran ist, aber nicht exakt mit ihr übereinstimmt. Schei*egal, Hauptsache, Dein Ergebnis ist sauber, gemessen an Deiner gewählten Einheit. Und mit ein paar hundert Nachkommastellen für Pi bist Du selbst bei einem Riesenuniversum stets auf der sicheren Seite und hast ne Kreisumfanggenauigkeit, die Du mit noch mehr Nachkommastellen nicht mehr genauer hinbekommen kannst. Suppenhahn hats erklärt, ich auch noch mal.

@yask

Das macht doch gar keinen Sinn, dann könnten wir 1/3 auch nicht darstellen, weil es nicht genau ist, jedoch ist 1/3 genau 1/3.

Ich gehe bei solchen Fragestellungen stets pragmatisch vor: z.B. mein Öltank ist 8 Meter lang und hat einen Durchmesser von 1,5 Meter.

Wieviel Liter Heizöl haben in dem Tank platz?

Fangen wir mal an, Pi=3,14, reicht in den meisten Fällen aus. Damits einfacher geht rechne ich gleich in Dezimeter, dann hab ich gleich das Ergebnis in Liter.
7,5 x 7,5 x 3,14 x 80 = 14130 Liter

Hm, ein wenig genauer, die meisten Taschenrechner spucken PI auf 7 Nachkommastellen aus, also:
7,5 x 7,5 x 3,1415926 x 80 = 14137,1667 Liter, immerhin 7,16 Liter Unterschied zur ersten Berechnung oder anders ausgedrückt 0,05%

So, das Ganze noch mal mit Excel und 14 Nachkommastellen:
7,5 x 7,5 x 3,14159265358979 x 80 = 14137,16694115405 Liter, Unterschied zur Berechnung mit 7 Nachkommastellen: gerade mal 241 Mikroliter!

Und weils mein Wissenschaftlicher Rechner auf 22 Nachkommastellen kann:
7,5 x 7,5 x 3,1415926535897932384626 x 80 = 14137,166941154069573 Liter. Unterschied zur Berechnung mit 14 Nachkommastellen: gerade mal 14 Femtoliter.

Jetzt stelle ich mir vor es wäre Sommer und mein Tank mitsamt Inhalt erwärmt sich um 10°C.
Das würde bedeuten, dass sich der Tank in der Länge um ca. 0,95 mm und im Durchmesser um ca. 0,17 mm ausdehnen würde.
Sein Rauminhalt wäre demnach:
7,500885 x 7,500885 x 3,14159265358979 x 80,00944 = 14142,172 Liter. Der Tank hat jetzt plötzlich 5 Liter mehr Inhalt
Noch gravierender ist die Raumausdehnung des Heizöles bei Erwärmung um 10°C, sie beträgt in diesem Fall stolze 99 Liter.


Man sieht also dehr schön, mehr Nachkommastellen von PI bei der Berechnung des Rauminhaltes bringen in diesem Fall gar nix.

Ich habe eine Vermutung, wieso Pi irrational sein muss.

Ich habe das heute aufgezeichnet. Meine These lautet, wenn Pi rational wäre, entstünde ein Kreis, wo sich Anfang und Ende überlappen.
Ich kann das nicht beweisen, ist nur eine diffuse Vermutung, die ich mir auch selbst nicht erklären kann. Obwohl auch mit Pi als irrationale Zahl glaube ich nicht, dass sich Anfang und Ende des Kreises überhaupt berühren. Also gibt es den perfekten Kreis gar nicht. Aber noch weniger den verhunzten Kreis mit überlappenden Ende.

Was meint ihr dazu.


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